可分离变量的微分方程即y‘=f（x，y）直接分离积分
齐次方程
dy/dx=g(y/x)令u=y/x 得xdu+u=dy带入可得到关于u和x的函数分离积分即可最后再将u换回来
可化为齐次的形如dy/dx=ax+by+c/ex+fy+g的用x=X+h,Y=y+K带到上式消去c和g再按照上面的方法做就行
可降阶的高阶微分方程
y**(n)=f(x)直接积分去求
y’’=f(x,y’)
令y’=P则y’‘=p’=dp/dx可化成p‘=f（x，p）然后分离去积分就行
y’‘=f（y，y’）
令y’=p,y’’=p<dp/dy>再带入之前得p<dp/dy>=f(y,p)再将y和p分开积分
一阶线性微分方程形如dy/dx+P(x)y=Q(x)
若Q（x)=0就直接分离求就行
若Q（x）！=0直接带公式y= e**-∫P（x）dx(C+∫Q（x）<e∫P（x）dx> dx)
伯努利方程dy/dx+p(x)y=Q(x)y(n)将y（n）除过去再放回dy里面用z=y(1-n)就变成了上面那个再直接带公式就行（除了难算点）
二阶线性y’’+P(x)y’+Q（x）y=f(x)
f(x)=0首先要看出来一个特解y1然后用刘威尔公式y2=y1∫e**-<∫P（x）dx/y1**2>dx可求出y2然后写通解y=c1y1+c2y2
f(x)!=0对于非齐次的先将后面的f（x）看成0然后求出上面的结果化成y=c1(x)y1+c2(x)y2然后可得c’1(x)y1+c’2(x)y2=0,c’1(x)y1’+c’2(x)y2’=f(x)解出c1(x),c2(x)回带通解y=c1(x)y1+c2(x)y2
常系数齐次线性微分方程y’’+py’+qy=0
经张弘老师解释y=erx然后求特征方程r2+pr+q=0看🔺与0关系分三种情况
🔺>0解出r1，r2通解为y=C1er1x+C2er2x
🔺=0，y=(C1+C2x)er1x
🔺<0 y=e**ax(C1cosbx+C2sinbx)其中a为-p/2 b为根号下4q-p方/2
常系数非齐次线性微分方程y’’+py’+qy=f(x)
1.先求出其对应齐次方程的通解Y即利用上面的步骤求出然后再去求非齐次方程的特解y1因较难所以只学了两种情况后面分类再写。3.非齐次方程的通解就为y=Y+y1
若f(x)为P(x)<e**ax>其中p(x)为一个多项式则特解为y1=<x**k>R(x)eax其中R(x)要看P(x)确定k的情况也分为三种0，1，2.若a为其特征方程(有两个不同的解)的一个解k=1，若特征方程仅一个解且为a,k=2.若a和解不一样则k=0.原因太长就只写结论了。到这就求出了特解的大部分至于R(x)要看P(x)来配出然后写结果就行
看350页例3解
注：y1和y2需是线性无关的即相除不能是常数
